Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），与分别交于.

（Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程；

（Ⅱ）若成等比数列，求的值.

Answer

（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由曲线极坐标方程，两边同乘以，可得曲线的直角坐标方程为,消去参数，得直线的普通方程为；（Ⅱ）由直线参数的几何意义可知，，，，由已知，联立直线的参数方程与的直角坐标方程，得，故，，则有

，得或，又，所以.

试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为；

直线的普通方程为.

（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得

（*）

.

设点分别对应参数，恰为上述方程的根.

则，，.

由题设得，即.

由（*）得，，则有

，得，或.

因为，所以.

考点：直线的参数方程、抛物线极坐标方程．