Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，得平面；（Ⅱ）由，，以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，求平面的法向量为，平面的法向量为，则两向量的余弦值为，又所求二面角为钝角，故二面角的平面角的余弦值为.

试题解析：证明：（Ⅰ）连接和交于，连接，

为正方形，为中点，

为中点，，

平面，平面，

平面.

（Ⅱ）【解析】
平面，平面，

为正方形，，

平面，平面，

平面，

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

则，，，，

平面，平面，，，

，为正方形，，，

由为正方形可得：，，

设平面的法向量为，

，

由，

令，则，

设平面的法向量为，

，

由，

令，则，，

设二面角的平面角的大小为，则

二面角的平面角的余弦值为

考点：空间中的位置关系、空间向量的应用．