Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点的距离等于5.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若正方形的三个顶点，，在抛物线上，可设直线的斜率为，求正方形面积的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线定义可得，则抛物线的方程为；

（Ⅱ）可设直线的方程为：，联立抛物线方程得，

则，类似地，设直线的方程为：，

得，由，得

，则，可得.

试题解析：（Ⅰ）依题意，设抛物线方程为：，

又，即，

抛物线的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设直线的方程为：，，

易知为该方程的两个根，故有，得，

从而得，

类似地，可设直线的方程为：，

从而得，

由，得，

解得，

因为，

所以，即的最小值为32，当且仅当时取得最小值.

考点：直线与圆锥曲线的位置关系．

【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．