Question

对于函数，若满足，则称为函数的一阶不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点．

（1）若，求的二阶不动点；

（2）若是定义在区间D上的增函数，且是函数的二阶不动点，求证：也必是函数的一阶不动点；

（3）设，，若在上存在二阶不动点，求实数的取值范围．

Answer

（1） （2）详见解析 （3）

【解析】

试题分析：（1）若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=4x+9，由f[f（x）]=x，能求出函数f（x）=2x+3的二阶不动点．

（2）由题意，记，则，若，与假设相矛盾；若，与假设相矛盾；从而，由此能证明也必是函数f（x）的一阶不动点．

（3）函数在R上单调递增，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点，则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点；推导出方程在[0，1]上有解，由此能出a的取值范围

试题解析：⑴若，则，

由，得，解得，

∴函数的二阶不动点为，

⑵证明：∵是函数的二阶不动点，

∴，

记，则，

若，则由在区间D上为增函数，有，即，这与假设相矛盾；

若，则由在区间D上为增函数，有，即，这与假设相矛盾；

∴，即，

∴是函数的一阶不动点，命题得证；

⑶函数在上单调递增，则由⑵可知，若在上存在二阶不动点，则在上也必存在一阶不动点；反之，若在上存在一阶不动点，即，那么，故在上也存在二阶不动点。

所以函数在上存在二阶不动点等价于在上有解，

即方程在上有解，

∴在上有解，

由可得，∴，

∴的取值范围是。

考点：函数与方程的综合运用；函数的值