Question

设函数的定义域为，并且满足，且，当时，.

（1）求的值；

（2）判断函数的奇偶性,并给出证明；

（3）如果，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）函数为奇函数；（3）；

【解析】

试题分析：（1）利用赋值法，求的值，即令，能求出；

（2）利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，即令,可得到与的关系；

（3）由奇偶性及，对进行转化，可得到，然后再利用定理证明在R上的单调性，即可求出的取值范围

试题解析：

（1）令，则，所以；

（2）因为，

所以，

由（1）知，

所以，又函数的定义域为，定义域关于原点对称，

所以函数为奇函数.

（3）任取，不妨设，则，

因为当时，

所以，即，所以

所以函数在定义域R上单调递增.

因为

所以

所以

因为

所以

所以

因为函数在定义域R上单调递增

所以

从而

所以的取值范围为

考点：1.抽象函数及其应用；2.函数的奇偶性与单调性综合应用；