Question

如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为          ．

Answer

【解析】

试题分析：如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，

由，知，设，由可得，所以、在以为球心，2为半径的球面上，又，因此线段是球的直径，

，因为点在正方体的表面上，所以的最小值为，因此的最小值为．

考点：向量的数量积，空间动点的轨迹．

【名师点睛】本题考查空间向量的数量积，考查数量积的最值问题，对最值问题，我们需要寻找一个变量，把数量积用这个变量表示出来，但本题中三点表面上都是运动的，对我们求关系式带来了困惑，由于点在正方体表面上运动，位置相对是确定的，而位置不明显，通过建立空间直角坐标系，用解析法得出在一个球面上，而且是球直径的两个端点，这样变量就可以表示为，其中点是固定，是相反向量，从而可化为

，经过这种转化现在问题中只有一个变量：点，其最小值易求．减少变量的个数是我们解决这类问题常用方法．