Question

已知二次函数，设是函数在上的最大值．

（1）当时，求关于的解析式；

（2）若对任意的，恒有，求满足条件的所有实数对．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：本题表面上是新定义问题，实质上新定义仅仅是最大值的另一种说法，（1）问题就是求在区间上的最大值，由于绝对值符号里面的式子是二次的，对称轴是，因此其在区间上递减，从而只要考虑和的大小可得结论；（2）首先要求，从（1）的研究知，须按对称轴与区间的关系分类，当或时，在区间上单调，因此有，，下面对此式进行放缩，有

，研究这里三个不等号取等号的条件可得，当时，还需分类讨论到底有还是有，（按的大小分类，也即1,2哪个离对称轴远），同上进行放缩以求得取最小值时的，比较的最小值可得．

试题解析：（1）当时，，则在上单调递减，故在上的值域为．

从而；

（2）函数的对称轴为，下面讨论的大小关系来确定的单调性．

①当或时，在上单调，又，，

不等号1,2,3取到等号的条件分别为或，

从而或

②当时，在上单调递增，在上单调递减，又，

，

ⅰ）当时，

不等号1,2,3取到等号的条件分别为，故．

ⅱ）当时，

不等号1,2,3取到等号的条件分别为，故，这与矛盾．

综上所述，当且仅当，时，对任意的，恒有，

故满足条件的所有实数对为．

考点：二次函数的性质，不等式放缩法求最值，绝对值的性质．