Question

已知等比数列的前项和为，且为等差数列的前三项．

（1）求与数列的通项公式；

（2）设数列的前项和，试问是否存在正整数，对任意的使得？若存在请求出的最大值，若不存在请说明理由．

Answer

（1），；（2）的最大值为2．

【解析】

试题分析：（1）设等比数列的公比为，把用表示并列出等式，解得，然后求得，由等比数列前项和公式写出，由此又可得出的等差数列的前3项，从而得通项公式；（2）数列，是等差数列相邻项相乘的倒数，因此其前项和用裂项相消法可求，从而得到的取值范围，不等式成立，即，因此只要小于等于最小值即可．

试题解析：（1）设等比数列的公比为，由且为等差数列三项，

则，得，得．

从而

所以的前三项为，故等差数列的通项公式为．

（2）由（1）知，

所以数列的前项和．

从而得对于，，故由知只要存在正整数使，

即只要，解得．

因为为正整数，所以的最大值为2．

考点：等比数列的前项和公式，等差数列的通项公式，裂项相消法求和．

【名师点睛】求等差数列与等比数列的通项公式一般都用基本量法，即把条件用首项和公差（或公比）表示并解出，从而得通项公式和前项和．关于数列求和，除等差数列（等比数列）用公式直接得出外，其他根据通项的形式可能会用分组求和法，裂项相消法，错位相减法，并项求和，倒序相加法等等．