Question

已知，函数在上单调递减．

（1）若为假命题，求实数的取值范围；

（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：本题考查复合命题的真假判断，可先求出命题、为真时，的取值范围，（1）为假，则命题、均为假；（2）若为真命题，为假命题，则命题、一真一假，由此可得结论．

试题解析：若为真，令，问题转化为求函数的最小值，

，令，解得，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故，故，

若为真，则在上单调递增，则，故，

（1） 若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为

（2） 若为真命题，为假命题，则一真一假．

若真假，则实数满足，即；

若假真，则实数满足，即．

综上所述，实数的取值范围为

考点：复合命题的真假．

【名师点睛】1．含逻辑联结词命题真假判断：

（1）p∧q中一假即假．

（2）p∨q中一真必真．

（3）p真，p假；p假，p真．

2．判断“p∧q”、“p∨q”、“p”形式命题真假的步骤

（1）准确判断简单命题p、q的真假；

（2）依据1中的方法判断“p∧q”、“p∨q”、“p”命题的真假．

3．根据命题真假求参数的方法步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．