Question

已知函数，且．

（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：．

Answer

（1）当时，函数有极大值，当时，函数有极小值；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求极值，可先求得导数，然后通过解不等式确定增区间，解不等式确定减区间，则可得极大值和极小值；（2）要证明此不等式，我们首先研究不等式左边的函数，记，求出其导数，可知在上单调递增，在上单调递减，，这是时最小值，，这是时的最大值，因此要证明题中不等式，可分类，和分别证明．

试题解析：（1）依题意，，

故，

令，则或； 令，则，

故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值

（2）由（1）知，令，

则，

可知在上单调递增，在上单调递减，令．

① 当时，，所以函数的图象在图象的上方．

② 当时，函数单调递减，所以其最小值为最大值为2，而，所以函数的图象也在图象的上方．

综上可知，当时，．

考点：导数与极值、单调性、最值．用导数证明不等式．

【名师点睛】1．求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

（1）求函数在（a，b）内的极值；

（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；

（3）将函数f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

2．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．