Question

已知函数．

（1）若是在定义域内的增函数，求的取值范围；

（2）若函数（其中为的导函数）存在三个零点，求的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意将是在定义域内的增函数，转化为对于一切实数都成立．即对于一切实数都成立．而恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：最小值，令，利用导数求其最值：先求导数，再求定义区间上导函数零点，列表分析可得时 取得极小值也是最小值．（2）先化简方程得，再利用导数研究函数图像：先增后减，结合图像可知存在三个零点，需使在极小值与极大值之间

试题解析：（1）因为，

所以函数的定义域为，且，

由得即对于一切实数都成立．

再令，则，令得．

而当时，当时，

所以当时取得极小值也是最小值，即．

所以的取值范围是．

（2）由（1）知，所以由得

，整理得．

令，则，

令，解得或．

列表得：

由表可知当时，取得极大值；

当时，取得极小值．

又当时，，，所以此时．

故结合图象得的取值范围是．

考点：利用导数研究函数增减性，利用导数研究函数零点

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．