Question

设函数，其中．

（1）当时，恒成立，求的取值范围；

（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由．

Answer

（1）或．（2）当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．

【解析】

试题分析：（1）先化简不等式：，再确定其对于恒成立，而函数是关于的一次函数，因此其等价于解一元二次不等式组得的取值范围；（2）因为，所以先确定导函数零点个数：分两类：一类导函数符号不变，即当时，或时，第二类：导函数符号有变化：且时，或时，再确定零点个数，极值点个数

试题解析：（1），，

令，要使，则使即可，而是关于的一次函数，

∴解得或．

所以的取值范围是或．

（2）令，，

当时，，此时，函数在上递增，无极值点；

当时，．

①当时，，，函数在上递增，无极值点；

②当时，，设方程的两个根为，（不妨设），

因为，所以，，由，∴，

所以当，，函数递增；

当，，函数递减；

当，，函数递增；因此函数有两个极值点．

当时，，由，可得，

所以当，，函数递增；

当时，，函数递减；因此函数有一个极值点．

综上，当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点．

考点：利用导数研究函数零点

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．