Question

已知椭圆：的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，即列两个独立条件，解出，（2）先化简等式：得，其中为线段的中点为，即所以直线为直线的垂直平分线，直线的垂直平分线过点，以下转化为中点弦问题，可利用韦达定理，也可利用点差法，得出t的函数解析式，根据对应参数（直线斜率或中点坐标）的取值范围确定实数的取值范围

试题解析：（1）由题意知，又，所以，

，所以椭圆的方程为： ；

（2）设直线的方程为：，代入，得：

，设，线段的中点为，

则 ，

由 得： ，

所以直线为直线的垂直平分线，

直线的方程为： ，

令得：点的横坐标，

因为， 所以，所以．

所以线段上存在点 使得，其中．

考点：椭圆标准方程，中点弦问题

【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程．