Question

已知函数（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明：（，且）．

Answer

（1）当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．（2）[1，+∞）（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再确定导函数在定义区间上零点情况：当k≤0时，导函数恒大于零，为增函数；当k＞0时，由一个零点x= ，先减后增（2）不等式恒成立问题，一般转化Wie对应函数最值问题，即，结合（1）的单调性情况，可得k＞0且f（）=ln≤0解得k≥1，（3）利用导数证明不等式，一般方法为构造恰当函数，利用其增减性进行证明：因为k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2，令，则，代入叠加得证

试题解析：（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）

∴f′（x）= ﹣k，

当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，

当k＞0时，令f′（x）=0，得x=

当f′（x）＜0，即1＜x＜时，函数为减函数，

当f′（x）＞0，即x＞时，函数为增函数，

综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，

当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．

（Ⅱ）由（1）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，

当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．

当x=时，f（x）取最大值，f（）=ln≤0

∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）

（Ⅲ）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2

∴＜1﹣，

∵= = ＜ =

取x=3，4，5…n，n+1累加得

∴+…+＜+++…+ = ，（n∈N，n＞1）．

考点：利用导数求单调区间，利用导数研究不等式恒成立，利用导数证不等式

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．