Question

在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面底面，，分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）立体中证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即先转化为证明线面垂直，而线面垂直的证明，往往从两个方面进行，一是结合平几知识寻找线线垂直，如利用等边三角形性质得中线垂直底边，另一方面，结合立几中面面垂直条件，将其转化为线面垂直，再得线线垂直（2）证明面面垂直，实质为证明线面垂直，而线面垂直的证明，往往从两个方面进行，一是结合平几知识寻找线线垂直，如利用等边三角形性质得中线垂直底边，另一方面，结合立几中线面垂直条件得线线垂直

试题解析：证明：（1）因为△为等边三角形，为的中点，

所以．

又因为平面面，平面面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以．

（2）连接，因为四边形为菱形，

所以．

因为，分别为，的中点，

所以，所以．

由（1）可知，平面，

因为平面，所以．

因为，所以平面．

又因为平面，

所以平面平面

考点：线面垂直性质与判定定理，面面垂直性质与判定定理

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．