Question

已知数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立．

（1）求证：存在实数使得数列为等比数列；

（2）求数列的前项和．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明等比数列，基本方法为等比数列定义，先利用和项与通项关系得，再变形得，可证数列是首项为3，公比为3的等比数列，因此（2）由（1）得，，因此数列的前项和，先分成两组，一组为等差数列求和，另一组需利用错位相减法求和：注意项的符号变化、项的个数、最后结果形式，最好代入验证所求结果．

试题解析：（1）当时，，可得，

由得，

两式相减，得，即，．

可得，而，

所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，

所以存在实数，使得数列为等比数列

（2）由（1）得，

即，

所以，

令，

则，

两式相减得，

所以．

考点：证明等比数列，错位相减求和