Question

如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直，实质为证明线面垂直，而线面垂直的证明，往往从两个方面进行，一是结合平几知识寻找线线垂直，本题直角给出另一方面，结合立几中线面垂直条件平面得线线垂直（2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系，求出二面角的余弦值

试题解析：（1）因为平面平面，所以，．

又因为，

所以平面，

而平面，所以平面平面．

（2）设和相交于点，连接，

由（1）知，平面，

所以是直线与平面所成的角，从而，

在中，由，得，

因为四边形为等腰梯形，，

所以均为等腰直角三角形，所以，

所以，

以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

所以，

设平面的一个法向量为，

由得，

令，得，

设平面的一个法向量为，

由得，

令，得，

所以，

因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

考点：面面垂直判定定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．