Question

小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设猜中的概率分别为，且是否猜中互不影响．

（1）求恰好获得4元的概率；

（2）设获得的金额为元，求的分布列；

（3）设获得的金额为元，获得的金额为元，判断所获得的金额的期望能否超过的期望与的期望之和．

Answer

（1）（2）

0

4

6

12

（3）所获得的金额的期望能超过的期望与的期望之和

【解析】

试题分析：（1）恰好获得4元指未猜中，未猜中，猜中，根据独立事件概率乘积公式得（2）先确定随机变量取法0，4，6，12，再分别求对应概率，列表可得分布列（3）先分别确定的可能取值为0，4，6；的可能取值为0，4．再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求出期望，并比较大小

试题解析：（1）恰好获得4元的概率为

（2）的可能取值为0，4，6，12，

，

，．

所以的分布列为：

0

4

6

12

（3）的可能取值为0，4，6；的可能取值为0，4．

因为，．

，

所以，

所以，

又，

由于，所以所获得的金额的期望能超过的期望与的期望之和

考点：独立事件概率，概率分布与数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．