Question

已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为．求的最大值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为，又在椭圆上，所以，解方程组得（2）先确定面积计算方法：，，再确定计算方向：设根据两点间距离公式求OM，根据两直线交点求N点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长AB，最后根据表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）

试题解析：（1）因为在椭圆上，所以，

又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，

解得，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可知，设，

则当时，，所以，

直线的方程为，即，

由得，

则，

，

，

又，所以，

由，得，所以，

所以，

当时，直线，

所以当时，．

考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系

【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．