Question

设函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：在上恒成立．

Answer

（1）在处取得极大值无极小值（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值（2）证明不等式，一般利用函数最值进行证明，而构造恰当的函数是解题的关键与难点，因为，所以首先将对数函数与指数函数分离，为使函数有最值，再作变形：，这样只需证明：，利用导数不难求得，，所以，但等号取法不同，因此

试题解析：（1）当时，，

∴当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减．

∴在处取得极大值无极小值

（2）当时，，

下面证，即证．

设， 则，

在上，是减函数；在上，是增函数．

所以．

设， 则，

在上，是增函数；在上，是减函数，

所以，．

所以，即，所以，即，

即在上恒成立

考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）已知函数求极值．求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．

（3）已知极值求参数．若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．