Question

如图所示，抛物线，其焦点为上的一点满足．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切于点，试判断直线是否经过焦点．

Answer

（1）（2）经过

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线定义得，又点在抛物线得，解得（2）利用导数几何意义得切点A处导数值等于切线斜率，求出切点A坐标，再利用直线与圆相切，由判别式为零求出切点B，最后根据两点式求直线AB方程，判定其是否经过焦点．

试题解析：（1）抛物线的准线方程为，

所以，又因为，所以，得，

所以抛物线的标准方程为

（2）设，联立，消去得：，

因为与相切，所以，即，

所以，得，

设，联立，消去得：，

因为与圆相切，所以，即，

所以，得，

所以直线的斜率，

可得直线的方程为，经过焦点

考点：抛物线定义，直线与抛物线相切，直线与圆相切