Question

设函数．

（1）当时，求函数的极值点；

（2）当时，证明：在上恒成立．

Answer

（1）是的极大值点，无极小值点（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值（2）证明不等式，一般利用函数最值进行证明，而构造恰当的函数是解题的关键与难点，因为,

在上最多有一个零点，设,则在上单调递减，在上单调递增，所以，而，，因此

试题解析：（1）由题意得，

当时，在上为增函数；

当时，在上为减函数；

所以是的极大值点，无极小值点

（2）证明：令，

则，

令，则因为，

所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，

又因为，所以存在唯一的使得，

且当时，；当时，，

即当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，从而，

由得即，两边取对数得：，

所以，从而证得．

考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式