Question

如图，一个侧棱长为的直三棱柱容器中盛有液体（不计容器厚度）.若液面恰好分别过棱中点.

（1）求证：平面平面；

（2）当底面水平放置时，求液面的高.

Answer

（1）证明见解析；（2）液面的高为.

【解析】

试题分析：（1）利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行. 通过证明平面，平面，得出平面平面；（2）利用两种状态下体积相等,求出液面的高.

试题解析: （1）证明：∵分别为的中点，∴是的中位线，∴.

又平面，平面，∴平面，

同理平面，又，∴平面平面.

（2）【解析】
当直三棱柱容器侧面水平放置时，由（1）可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱容器的高，即侧棱长.

当底面水平放置时，设液面的高为，的面积为，

由已知条件可知，∽，且，∴.

由于两种状态下液体体积相等，∴，即.

因此，当底面水平放置时，液面的高为.

考点：1.面面垂直的判定定理；2.体积的计算.