Question

如图，已知椭圆的四个顶点分别为,左右焦点分别为，若圆：上有且只有一个点满足.

（1）求圆的半径；

（2）若点为圆上的一个动点，直线交椭圆于点，交直线于点，求的最大值.

Answer

（1）半径为；（2）最大值为.

【解析】

试题分析：（1）先由已知条件,求出点的轨迹方程,再利用两圆相切,求出圆的半径,注意范围；（2）先设出直线方程,由直线与圆的位置关系,求出的范围,联立直线与圆的方程,求出点的横坐标, 直线与直线的交点为点,求出横坐标,利用相似得出 ,代入,再求出范围.

试题解析：（1）依题意得，，设点，

由得：，化简得，

∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.

又∵点在圆上并且有且只有一个点，即两圆相切，

当两圆外切时，圆心距，成立；

当两圆内切时，圆心距，不成立；

∴

（2）设直线为，由，得.

联立消去并整理得：，解得点的横坐标为，

把直线与直线:联立解得点的横坐标为，

∴

当且仅当时，取等号，

∴的最大值为.

考点：1.椭圆的简单性质；2.基本不等式；3.直线与椭圆相交问题.

【思路点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及性质,直线与椭圆相交问题,以及用基本不等式求最值,属于压轴题.本题解题思路:（1）比较简单, 求出点的轨迹方程,再利用两圆外切,求出圆的半径；（2）先设出直线方程,由直线与圆的位置关系,求出的范围,联立直线与圆的方程,求出点的横坐标, 直线与直线的交点为点,求出横坐标, ,再求出范围.