Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；

（3）若，求证.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用两直线平行,求出的值；（2）利用恒成立,转化为求的最小值；（3）由函数的单调性, 所以,代入化简得证.

试题解析：（1），∴.

∵曲线在点处的切线与直线平行，

∴，∴.

（2）由，得，

∵在定义域上是增函数，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

∵（当且仅当时取等号），

∴，即实数的取值范围是.

（3）∵，∴，要证，即证

令，

由（2）知，在上是增函数，∴.

故，即.

考点：1.两直线平行的条件；2.基本不等式；3.导数的应用.

【易错点晴】本题主要考查导数及其应用，属于压轴题. 在（1）中,利用导数的几何意义,求出函数在处切线的斜率,利用平行直线的斜率相等,求出的值；在（2）中,由恒成立转化为求的最小值,用到基本不等式；在（3）中,用分析法把结论转化为,利用的单调性证明.