Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为,求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时, 对,使得成立, 则实数的取值范围．

Answer

（１）；（２）的单调增区间为,单调减区间为；（３） ．

【解析】

试题分析：（1）由导数的几何意义得解得；（２）求，由得函数的单调区间；（３）求得在上的最大值，在上的最大值为可得的取值范围．

试题解析：（1）,由于曲线在点处的切线方程为,所以解得.

（2）令,即,解得,由,得,或,

由,得,所以的单调增区间为,单调减区间为.

（3）“对, 使成立” 等价于“在上的最大值

小于在上的最大值”.当时,. 由（2）可得与

在上的情况如下：

由上表可知在上的最大值.因为在上恒成立，所以在上单调递增. 所以最大值为.由,即,得,故的取值范围为.

考点：导数的几何意义；导数与函数的单调性．

【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；导数与函数的单调性．求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．（4）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点．