Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时, 若存在区间,使在上的值域是,求的取值范围．

Answer

（１）当时, 在上为减函数, 当时,在上为减函数, 在上为增函数；（２）．

【解析】

试题分析：（１）求，对分类讨论解可得的单调性；（２）本题转化为在上至少有两个不同的实数根，通过讨论，的单调性得．

试题解析：（1）函数定义域是,,当时, 在上

为减函数, 当时, 令,则,当时, 为减函数, 当时, 为增函数, 当时, 在上为减函数, 当时,

在上为减函数, 在上为增函数.

（2）当时,, 由（1）知：在上为增函数, 而在上为增函数, 结合在上的值域是知：

,其中.则在上至少有两个不同的实数根.

由得,记,

则,记,则,在上为增函数, 即在上为增函数, 而,当时,, 当时,, 在上为减函数, 在上为增函数, 而,当时,, 故结合图象得：的取值范围是.

考点：导数与函数的单调性；构造函数．