Question

对于定义域分别是的函数,规定：函数.

（1）若函数,写出函数的解析式；

（2）求出（1）中的函数的值域；

（3）若,其中是常数, 且,请设计一个定义域为的及一个的值，使得,并给予证明.

Answer

（１）；

（２）；

（３） ，证明见解析．

【解析】

试题分析：（１）依题意得，分讨论，利用函数性质可求得函数的解析式；（２）当时，易求；当时，，再对分和讨论，利用基本不等式即可求得函数的值域；（３）构造函数，可求得，继而可证得．

试题解析：（1）.

（2）当时,, 若时, 则,其中等号当时成立,

若时, 则,其中等号当时成立, 函数的值域是.

（3） 令,则

,

于是,

另解令,

于是.

考点：抽象函数及其应用．