Question

设函数,其中为实数.

（1）若在上是单调减函数, 且在上有最小值, 求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数, 试求的零点个数, 并证明你的结论.

Answer

（１）；（２）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解析．

【解析】

试题分析：（１）求导数，利用在上是单调减函数，转化为在上恒成立，利用在上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（２）先确定的范围，再分类讨论，确定的单调性，从而可得的零点个数．

试题解析：（1）在上恒成立, 则,故.,

若,则在上恒成立, 此时, 在上是单调增函数,

无最小值, 不合；若,则在上是单调减函数, 在上是单调增函数,

,满足. 故的取值范围.

（2）在上恒成立, 则,故.

①若, 令得增区间为；令得减区间为,

当时, ；当时, ；当时,,

当且仅当时取等号. 故:时, 有个零点；当时, 有个零点.

②若,则,易得 有个零点；

③若,则在上恒成立, 即：在上是单调增函数,

当时, ；当时, . 此时, 有个零点.

综上所述：当或时, 有个零点；故时, 有个零点.

考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．