Question

如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，，点在上.

（1）求证：平面；

（2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离.

Answer

（１）证明见解析；（２） 证明见解析；．

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理可得，，由直线与直面垂直的判定定理可得结论；（２） 当时，由直线与平面平行的判定定理可得平面.由此直线与平面之间的距离可转化为到平面的距离，再转化为点到平面的距离,最后利用等体积法可求得直线与平面之间的距离.

试题解析： （1）证明：∵底面是菱形，，∴，

在中，由知.

同理，.

又∵，∴平面.

（2）【解析】
当时，平面.

证明如下：连结交于，当时，即点为的中点时，连接，则，

∴平面.

直线与平面之间的距离等于点到平面的距离.

∵点为的中点，可转化为到平面的距离，，

设的中点为，连接，则，∴平面，且，可求得，

∴.

又，，，，

∴（表示点到平面的距离），，

∴直线与平面之间的距离为.

考点：直线与平面平行的判定定理；直线与平面垂直的判定定理；等体积法求点到平面的距离．

【易错点睛】破解线面垂直关系的技巧：（1）解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．（2）由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．