Question

已知曲线上的点到点的距离与到定直线的距离之比为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若点关于原点的对称点为，则是否存在经过点的直线交曲线于两点，且三角形的面积为，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（１） ；（２）存在；或．

【解析】

试题分析：（１）由题意可建立等式，整理可得关于的方程；（２）分两种情况：一、斜率不存在，经验证不符合题意；二、斜率存在，可设点斜式方程，联立直线与椭圆方程得，可求得点到直线的距离，利用面积为，可求得斜率，可得直线的方程．

试题解析： （1）依题意得，，化简整理可得

∴曲线的轨迹方程为

（2）依题意得.

若直线的斜率不存在，直线的方程为，此时，到直线的距离为4，

三角形的面积为，不满足题意.

若直线的斜率存在，根据题意设直线的方程为：，，，

联立方程组，消去可得：，

，，

则，

设点到直线的距离为，则，

，

根据题意可得：，解得或，

∴存在直线或满足题意.

考点：椭圆的定义；直线与椭圆的位置关系．