Question

选修4-1：几何证明选讲

如图，等边三角形内接于圆，以为切点的圆的两条切线交于点，交圆于点.

（1）求证：四边形为菱形；

（2）若，求等边三角形的面积.

Answer

（１）证明见解析；（２）．

【解析】

试题分析：（１）先证四边形为平行四边形，再证明邻边相等即可；（２）利用根据切割线定理得：整理成只含的等式，可求得的值，进而得，可得三角形的面积．

试题解析：（1）证明：∵三角形为等边三角形，∴，

又∵分别为以为切点的圆的切线，

∴，且，∴三点共线.

∵，∴，又∵四点共圆，∴，

∴为等边三角形，∴可得，，

∴，，∴四边形为平行四边形，

又∵，∴四边形为菱形.

（2）【解析】
∵是圆的切线，根据切割线定理得：

在直角三角形中，，∴.

又∵，∴，

∵，∴，

即，解得，

∴，∴等边三角形的面积为.

考点：与圆有关的比例线段．