Question

已知圆的方程．

（1）若点在圆的内部，求的取值范围；

（2）若当时，

①设为圆上的一个动点，求的最值；

②问是否存在斜率是1的直线，使被圆截得的弦，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（１）；（２）①；②或．

【解析】

试题分析：（１）圆整理成标准方程，由点在圆内可建立不等式，求得的取值范围；（２）①可转化为圆上的点到的最值；②可设的斜截式，联立直线与圆的方程，求得，由以为直径的圆经过原点得，建立等式，可求得的值，得直线的方程．

试题解析： （1），∴．

又有点在圆的内部，可得，即：

∴

（2）①当时，圆的方程即，

而表示圆上的点到点的距离的平分，

由于，故的最大值为，

的最小值．

②法一：假设存在直线满足题设条件，设的方程为，

圆化为，圆心，则中点是两直线与的交点即，以为直径的圆经过原点，

∴，又，

∴．又

由，解得或．

∴存在直线，其方程为或．

法二：假设存在直线，设其方程为

由得 ①

设，则，

∴

又∵，∴，∴

解得或，把或分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在或

∴存在满足条件的直线方程是或．

考点：点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．