Question

己知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上．

（1）求矩形的外接圆的方程；

（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．

Answer

（１） ；（２）证明见解析；．

【解析】

试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．

试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，

∴所在直线的方程是，即．

由得．

∴，∴矩形的外接圆的方程是．

（2）证明：直线的方程可化为，

可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，

由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为（为到的距离），

设与的夹角为，则，当时，最大，最短．

此时的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．

考点：圆的标准方程；直线与圆相交．