Question

已知命题p：关于实数x的方程4x²﹣4mx+m²﹣1=0的一根比1大另一根比1小；命题q：函数f（x）=2^x﹣1﹣m在区间（2，+∞）上有零点．

（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．

（2）当命题P为真时，实数m的取值集合为集合M，若命题：∀x∈M，x²﹣ax+1≤0为真，则求实数a的取值范围．

Answer

（1） ；（2）.

【解析】

试题分析：分别求出为真命题时的取值范围；（1）通过讨论的真假，得到关于的不等式组，解出实数的取值范围；（2）把问题转化为在上恒成立，求得其最大值即可求得实数的取值范围．

试题解析：∵命题p：关于实数x的方程4x2﹣4mx+m2﹣1=0的一根比1大另一根比1小，

∴4﹣4m+m2﹣1＜0，解得：1＜m＜3；

∵命题q：函数f（x）=2x﹣1﹣m在区间（2，+∞）上有零点，

∴22﹣1﹣m＜0，解得：m＞2；

（1）命题p：1＜m＜3．命题q：m＞2，

由题意知，命题p、q应一真一假，

即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真，

∴或，

解得：m≥3或1＜m≤2；

（2）当命题P为真时，实数m的取值集合为集合M，

则M=（1，3），

若命题：∀x∈M，x2﹣ax+1≤0为真，

即a≥x+在x∈（1，3）恒成立，

而x+的最大值是，

故a≥．

考点：复合命题及全称命题的真假．