Question

（2015•松江区一模）已知函数f（x）=a^|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．

（1）若f（x）为偶函数，求b的值；

（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．

Answer

（1）；（2）且．

【解析】

试题分析：（1）因为为偶函数，得到对任意的，都有，求出；（2）记，通过讨论的值得到的范围.

试题解析：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），

即a|x+b|=a|﹣x+b|，所以|x+b|=|﹣x+b|

得 b=0．

（2）记h（x）=|x+b|=，

①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，

∴﹣b≤2，b≥﹣2

②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数

但h（x）在区间[﹣b，+∞）上是增函数，故不可能

∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥﹣2

考点：函数的奇偶性判断与单调性的判断与证明．