Question

已知函数f（x）=ax²﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．

（1）求a、c的值：

（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）首先函数为二次函数，再利用二次函数的性质解决对一切，都有，根据 得 ，即，从而可得，进而可得；（2），该函数图象开口向上，且对称轴为，假设存在实数使函数在区间上有最小值，根据函数的对称轴与区间的关系进行讨论，从而求得实数的值.

试题解析：（1）当a=0时，．

由f（1）=0得：，即，∴．

显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．

∴a≠0，函数是二次函数． …（2分）

由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即（*）…（4分）

由f（1）=0得 ，即，代入（*）得 ．

整理得，即．

而，∴．

将代入（*）得，，

∴．

另【解析】
（Ⅰ）当a=0时，．

由f（1）=0得，即，

∴．

显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，

∴a≠0，因而函数是二次函数．

由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即 …

由此可知 a＞0，c＞0，

∴．

由f（1）=0，得，代入上式得．

但前面已推得，

∴．

由解得．

（Ⅱ）∵，∴．

∴．

该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．

假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，

∴g（m）=﹣5，

即，

解得 m=﹣3或m=．

∵＞﹣1，∴m=舍去．

②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，

∴g（2m+1）=﹣5，

即．

解得m=或m=，均应舍去

③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，

∴g（m+2）=﹣5，

即．

解得 m=或m=，其中m=应舍去．

综上可得，当m=﹣3或m=时，函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

考点：二次函数的性质及其在闭区间上的最值．

【方法点睛】本题主要考查了函数、方程与不等式等基本知识，考查了分类讨论的数学思想和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，本题重点是函数的解析式的求解与函数最值的研究，解题的关键是合理运用函数的性质，正确分类，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，具备一定的综合性.