Question

已知函数f（x）=alnx+bx²﹣（b+a）x．

（Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；

（Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x₁，x₂∈[α，β]，|f（x₁）﹣f（x₂）|＜1．

Answer

（I）；（II）证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）求出当时，函数的表达式，并求出导数，通过导数求出其单调区间，从而找到极值点，求出极值，同时也是最值；（II）写出当时，函数的表达式，并求出导数，根据题意可得，说明是减区间，从而，化简并令，通过求导可判断函数在是增函数，从而即，使得问题得证.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
当a=1，b=0时，f（x）=lnx﹣x（x＞0），

导数f′（x）=，当x＞1时，f′（x）＜0，

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，

∴x=1时，函数取极大值，也为最大值，且为﹣1；

（Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，

导数f′（x）=+x﹣（1+a）=（x＞0），

∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，

∴α=1，β=a，（1＜a≤e），

∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，

当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，

∵任意的x1，x2∈[α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，

∴f（1）最大且为﹣（1+a），f（a）最小且为alna+a2﹣（1+a）a，

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（a）=﹣（1+a）﹣alna﹣a2+（1+a）a

=（a2﹣1）﹣alna，

令g（x）=（x2﹣1）﹣xlnx（1＜x≤e）

则g′（x）=x﹣1﹣lnx，g′（1）=0，g′（e）=e﹣1﹣1＞0，

∴g（x）在（1，e]上递增，

故g（x）≤（e2﹣1）﹣elne=，即（a2﹣1）﹣alna≤，

而＜1，

∴|f（x1）﹣f（x2）|＜1．

考点：导数的意义在实际问题中的应用及函数的恒成立问题．

【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的综合应用，利用导数研究函数的单调性及极值、最值等，同时考查函数在一个区间内的任意两个函数值的差的绝对值不大于最大值与最小值的差，利用函数的单调性比较大小，是一道综合性较强的题目.本题即得的难点是第二问中转化后构造函数，通过研究其单调性求其最大值使得问题得证.