Question

已知函数．

（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，上单调递增；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先求，得即为切线斜率，利用点斜式求解；（2）求出的导数，通过讨论的范围，确实导函数的符号, 从而求出函数的单调区间；（3）问题转化为对恒成立, 令,通过讨论函数的单调性得到其最小值, 解关于的不等式即可求出的范围.

试题解析：（1）由，，得或（舍去）

经检验，当时，函数在处取得极值.

时，，

则，

所以所求的切线方式为，整理得.

（2）定义域为

，

令，得或

∵，则，且

①当时，，，此时在上单调递增；

②当时，在和上单调递增，在上单调递减；

③当时，在上单调递减，上单调递增.

（3）由题意，，

即，即对任意恒成立，

令，则，

令，得，即在上单调递减，上单调递增，

当时取得最小值

∴，解得

又∵，所以的取值范围为.

考点：1、利用导数求曲线的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.