Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件可推得，由此能求出椭圆的标准方程；（2）存在直线使得成立，直线方程与椭圆的方程联立，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件，得出，即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1）设椭圆的方程为（），半焦距为．依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．

所以椭圆的标准方程是．

（2）【解析】
存在直线，使得成立．理由如下：

由得．

，化简得．

设，，则，．

若成立，即，等价于．

所以．，

，,

化简得，．将代入中，，解得， ．又由，，

从而，或．

所以实数的取值范围是．

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置的应用．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质、不等式求范围问题，此类问题的解答中，把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系，以及韦达定理结合题目的条件进行合理运算是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时注意试题中的隐含条件，做到合理加以运用，属于中档试题．