Question

设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；

（3）当时．证明：．

Answer

（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）时，无极值，时，有极大值,无极小值；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，求得和的解集，即可求解函数的单调区间；（2）由题意得出的解析式，得出，按和两种情况分类讨论，即可得出的极大值与极小值；（3）设，转化为证，只需证明，取出，得出的单调性，设的根为，此时，进而可得以证明．

试题解析：（1）（）．

令，即，得，故的增区间为；

令，即，得，故的减区间为；

∴的单调增区间为，的单调减区间为．

（2）（）

（）

当时，恒有∴在上为增函数，故在上无极值；

当时，令，得

，，单调递增，，，单调递减．

∴，无极小值；

综上所述：时，无极值

时，有极大值,无极小值．

（3）证明：设（），则即证，只要证

∵，∴，

又在上单调递增

∴方程有唯一的实根，且．

∵当时，．当时，

∴当时，

∵即，则 ∴

∴原命题得证

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值与最值；不等式的证明．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、不等式的证明的知识的综合应用，其中解答中，根据试题的题设条件构造新函数，转化为利用函数的单调性与极值（最值）是解得此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于难题．