Question

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试讨论函数的单调性；

（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）,证明：．

Answer

（I）；（II）当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增；（III）证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）当时，，根据，，求得切线方程为；（II）定义域为，求导得，由得，，，对分成类，结合函数图像进行分类讨论的单调区间；（III）先用分析法分析，要证，即证，因，即证，令（），即证（），令利用导数可证明上述不等式成立.

试题解析：

（Ⅰ）依题意得，则，，

则曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）∵函数的定义域为,且

，

当时，由得，，，

①当时，，由得，，或；由得，，所以在，上单调递增，在上单调递减……6分

③ 当时，，由得，，或；由得，，

所以在，上单调递增，在上单调递减

③当时，，在上，，

所以在上单调递增.

综上,当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

（Ⅲ）依题意得，

要证，即证，

因，即证，

令（），即证（），

令（）则，

∴在（1，+）上单调递增，

∴=0，即（）①

同理可证：②

综①②得（），即

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点， 而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转 化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.