Question

二次函数f（x）满足f（x＋1）-f（x）＝2x，且f（0）＝1.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈[-1,1]时，不等式f（x）＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由于函数为二次函数，所以设，由得，则转化为，整理得：，于是根据待定系数法有：，所以，则；（2）由（1）知，当时，不等式恒成立，转化为恒成立，则只需，当时，为减函数，所以，所以.

试题解析：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，

则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c.

从而f（x＋1）-f（x）＝[a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c]-（ax2＋bx＋c）

＝2ax＋a＋b，

又f（x＋1）-f（x）＝2x，

∴

又f（0）＝c＝1，∴f（x）＝x2-x＋1.

（2）由（1）及f（x）＞2x＋mm＜x2-3x＋1，

令g（x）＝x2-3x＋1，x∈[-1,1]，

则当x∈[-1,1]时，g（x）＝x2-3x＋1为减函数，

∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝-1，

从而要使不等式m＜x2-3x＋1恒成立，则m＜-1.

考点：1、求函数解析式；2、不等式恒成立.

【思路点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及不等式恒成立问题.对于一元二次不等式恒成立问题，可以分两种类型，一种是在上恒成立，主要采用判别式法，另一种是在部分区间上恒成立，主要采用分离参数法或分类讨论法解决，同时结合函数图象，即数形结合的思想方法.本题主要采用分离参数.