Question

已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时，.

（1）求f（1）的值；

（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；

（3）若f（3）＝-1，求f（x）在[2,9]上的最小值．

Answer

（1）；（2）函数在区间上单调递减，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）设，则有，所以得到；（2）函数在区间上单调递减，可以运用函数单调性定义进行证明，设是区间上任意两个不等的实数，且，则，，因为且，则，根据题意当时，，所以，即，所以函数在区间上单调递减；（3）由于函数在区间上单调递减，所以当时，函数也单调递减，所以当时，取得最小值，，所以.

试题解析：（1）令x1＝x2，则f（1）＝f（）＝f（x1）-f（x2）＝0.

（2） f（x）在（0，＋∞）上是减函数，证明如下：

任取x1，x2满足0＜x1＜x2，则＞1，

∴f（）＜0.

∵f（）＝f（x2）-f（x1），

∴f（x2）-f（x1）＜0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，＋∞）上是减函数．

（3）∵f（3）＝f（）＝f（9）-f（3），∴f（9）＝2f（3）＝-2.

又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f（x）在[2,9]上是减函数．

∴f（x）在[2,9]上的最小值为f（9）＝-2.

考点：1、抽象函数；2、函数的单调性证明.

【思路点睛】本题主要考查抽象函数问题.首先考查抽象函数求函数值，可以采用赋值法，然后考查抽象函数单调性的证明步骤：取值-作差-变形-定号-下结论，此问比较抽象，要求在把握好函数单调性定义的同时还要能够恰当的利用题中已知条件对合理变形，从而能够判断出的符号来确定函数的单调性.考查学生对函数单调性定义的应用能力.