Question

在平面直角坐标系中，已知圆和圆．

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为是，求直线的方程；

（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线与被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．

Answer

（1）或；（2）或点.

【解析】

试题分析：（1）直线过点,故可以设出直线的点斜式方程，根据圆的几何性质、点到直线距离公式及勾股定理到一个关于直线斜率的方程,解方程求出值即可；（2）由于两直线斜率为之积为 ,可以设出过点的直线与的点斜式方程，由直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，可以得到一个关于直线斜率的方程，由方程恒成立可得关于的方程组，求得的值即可.

试题解析：（1）由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在，设

直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，

∵直线被圆截得的弦长为，

∴，∴，即或，

所以直线的方程为或；

（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为，

，则直线的方程为，因为和的半径相等，

及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以圆的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，即，

整理得：，

∴或，

即或．

因为的取值有无穷多个，所以

，或，解得或，

这样点只可能是点或点，经检验点和满足题目条件．

考点：1、直线与圆的位置关系及点到直线距离公式；2、圆的方程和几何性质待定系数法求直线方程；3、存在性问题的应用.

【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式、圆的方程和几何性质待定系数法求直线方程、存在性问题的应用.对于存在性问题，往往先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.