Question

若函数满足（其中，且）.

（1）求的解析式，并判断单调性；

（2）当时，,求的取值范围.

Answer

（1），在上是增函数；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用换元法求出的解析式，进而求得 的解析式，分，两种情况讨论的单调性；（2）在上是增函数，也是上的增函数，得，进而得可解得的取值范围.

试题解析：（1）令, 当时,为增函数,为增函数,且，为增函数 ，当时，为减函数，为减函数，且， 为增函数，在上是增函数 .

（2）在上是增函数 ，也是上的增函数，由，得，要使在上恒为负数，只需，即，，又，的取值范围为.

考点：1、函数的解析式及单调性；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（可）或恒成立（即可）；②数形结合（图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的取值范围的.