Question

设函数（为实数）.

（1）当时，若函数为定义在上的奇函数，且在时，，求函数的解析式；

（2）当时，求关于的方程在实数集上的解.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知区间求对偶区间解析式，关键找准两者关系，本题是根据奇函数性质得：两者相反，因此当时，，最后根据奇函数性质确定得取值，函数解析式用分段函数形式表示（2）方程可看作关于的一元二次方程，利用求根公式得，再结合，得，最后将指数式转化为对数式

试题解析：【解析】
（1）当时，，由已知，

则当时，，由于为奇函数，故知时，，∴.

（2），即，整理，得：，所以，又，所以，所以，从而.

考点：利用函数奇偶性求解析式，解一元二次方程

【方法点睛】（1）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）±f（x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值；（2）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f（x）的方程，从而可得f（x）的值或解析式.