Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）根据两圆相切得圆心距与半径之间关系：，消去半径得，符合椭圆定义，由定义可得轨迹方程（2）探究问题，实质是计算问题，即利用坐标求和的比值：根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用两点间距离公式及韦达定理、弦长公式可得和的表达式，两式相比即得比值（3）因为的面积的面积，所以，利用原点到直线距离得三角形的高，而底为弦长MN（2中已求），可得面积表达式，为一个分式函数，结合变量分离法（整体代换）、基本不等式求最值

试题解析：【解析】
（1）设圆心的坐标为，半径为，

由于动圆一圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切

∴

∴圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

∴

故圆心的轨迹．

（2）设，直线，则直线，

由可得：，∴，

∴

由可得：，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值为一个常数，这个常数为．

（3）∵，∴的面积的面积，∴，

∵到直线的距离，

∴．1

令，则，，

∵（当且仅当，即，亦即时取等号）

∴当时，取最大值．1

考点：利用椭圆定义求轨迹方程，直线与椭圆位置关系

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.