Question

已知函数．

（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

Answer

（1）（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义得，所以先求导数，再列等量关系，解得（2）先研究导函数零点：：当时，一个零点2；当时，两个零点，此时再比较两个零点大小，需分三种情况讨论；最后列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间（3）任意存在性问题，一般先转化为对应函数最值问题：，易确定最大值为0，此时可继续分类讨论求最大值，也可再次利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值

试题解析：【解析】

（1）由题意知，

即，解得，

（2）

①当时，∵，∴，在区间上，

；在区间上，，

故的单调递增区间是，

单调递减区间是

②当时，，在区间和上，；

在区间上，，故的单调递增区间是和，

单调递减区间是．．

③当时，，故的单调递增区间是，．

④当时，，在区间和上，；

在区间上，，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．．

（3）由题意知，在上有，

由已知得，由（2）可知，

①当时，在上单调递增，

故，所以，解得，

故．．1

②当时，在上单调递增；

在的单调递减，

故，

由可知，

所以，即，所以，， 1

所以，综上所述，．1

考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数求参数取值范围

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.