Question

已知椭圆 的短轴长为2，离心率为，直线过点交椭圆于两点，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）短轴长，离心率有根据椭圆的基本关系式，可解得椭圆的方程；（2）因为直线过点，所以设直线方程为与椭圆方程联立，得到根与系数的关系和，表示，最后表示三角形的面积，再求函数的最值．

试题解析：

（1）由题意得，由得，

∴椭圆的方程为；

（2）依题决设直线的方程为，

由，得，

，设，则，

，

设，则，

∵，∴，

∴当，即时，面积取得最大值为，此时．

考点：直线与圆锥曲线位置关系.

【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．